Le phénomène de vibration d'une corde

L'expérience de Melde a été réalisé pour la première fois par Franz Melde (né en 1832 et mort en 1901), un physicien Allemand. Elle permet d'étudier les ondes stationnaires émises par une corde "vibrante" :

 

 

L'aimant en U que nous avons utilisé lors de cette expérience crée un champ magnétique : c'est la force de Laplace (physicien, mathématicien et astronome français né en 1749 et mort en 1827). Le fil, parcouru par un courant d'intensité I dans un champ magnétique B, est soumis à une force F (force de Laplace). La force F est perpendiculaire au champ magnétique B qui est perpendiculaire au sens du courant d'intensité I. Pour simplifier et se souvenir facilement de cette règle, on utilise ce qu'on appelle la règle des 3 doigts.

 

 

 

 

Cette expérience nous permet également, à partir du montage réalisé, de définir de quoi dépend la fréquence de vibration :

- de la masse linéaire de la corde (notée µ et exprimée en kilogramme par mètre, kg/m)

- de la force avec laquelle on tend cette corde (tension notée T et exprimée en Newton, N)

- de la longueur de la corde (notée L et exprimée en mètre, m).

 

Si l'on cherche l'influence de chaque paramètre :

- plus la corde est légère et plus son diamètre est faible (µ est faible), plus la fréquence est élevée (c'est la raison       pour laquelle les cordes aiguës d'un instrument sont plus fines)

- plus la corde est tendue, plus la fréquence de vibration est élevée (d'un point de vue acoustique, la note s'élève lorsqu'on tend la corde)

- plus la corde est longue, plus la fréquence est basse (et donc pour un instrument plus le son est grave).

 

 

Variation  de la fréquence en fonction de la longueur : plus la corde est petite plus la fréquence est élevée et donc plus le son est aigu


La tension que l'on exerce sur une corde est primordiale : étant tenue par ses deux extrémités, les vibrations de la corde se réfléchissent à chaque extrémité, il y a donc un phénomène d'onde stationnaire.

 

 

 

Une onde stationnaire est un phénomène résultant de la propagation simultanée dans des directions différentes de plusieurs ondes de même fréquence dans le même milieu physique (ici l'air). L'onde rouge de l'onde stationnaire que l'on voit ci-dessus est l'onde réfléchie de l'onde noire et l'onde bleue est celle de l'onde rouge : l'onde rouge aura une intensité moins élevée que la noire mais plus élevée que la bleue.

Pour que la vibration émise par la corde soit une onde stationnaire et donc un son musical, il faut impérativement que la corde soit tendue entre deux points fixes. Si la corde n'est pas tendue, la vibration qu'elle émettra dès lors sera une onde progressive : c'est une onde qui ne se réfléchie pas, c'est à dire qui ne rencontre pas d'obstacle jusqu'à sa dissipation.

Pour vérifier ces dires, prenez une corde que vous tendrez entre deux points fixes et frottez-la. Vous constaterez facilement qu'elle vibre et que cette vibration forme un ventre (voir schéma ci-dessous) : cette corde produit une onde stationnaire certes faible mais qui pourrais être audible avec un amplificateur.

Ensuite, détachez-la d'un des deux points fixes et frottez-la encore. Cette fois-ci la corde (ainsi que la vibration émise par celle-ci) est déséquilibrée : l'onde produite par la corde est donc une onde progressive dont l'intensité sera bien plus faible que celle de l'onde stationnaire (elle se dissipera avant d'avoir rencontré un obstacle).

 

 

 

Lorsque la corde vibre selon un mode propre donné :

- des points restent immobiles, ce sont des noeuds  de vibrations

- des points ont une élongation maximale, ce sont des ventres de vibrations

- deux ou deux ventres consécutifs sont distants d'une demi-longueur d'onde

Une longueur d'onde est la distance parcourue par un son monofréquence (une seule fréquence) lors de sa propagation dans l'air.

 

Une corde pincée émet un son composé de fréquences qui sont celles des modes propres de vibration de la corde. Ces fréquences sont enfaite la fréquence fondamentale et ses multiples (= fréquences harmoniques):  fk = kƒ0      (k est un entier naturel non nul)

 

Vibration fondamentale (haut), avec une harmonique (milieu) et avec deux harmoniques (bas)

 

Dans le cas d'une corde tendue entre deux points fixes, la condition d'existence d'une onde stationnaire est : 

2.L = k.λ

k est un entier naturel non nul, L est la longueur de la corde (en m), λ est la longueur d'onde des ondes progressives dans le milieu de propagation (en m).

Or ,   λ = v/f     

 f la fréquence (en Hertz), v est la célérité d'une onde se propageant  le long du fil tendu.    


v = √(T/µ)     où T est la tension exercée sur la corde (en N)                                                                                           

                      et µ la masse par unité de longueur de la corde (en  kg.m-1).


λ = v/f   <====>   .2L = k .(v/f)

              <====>   fk = k.v/2.L


Si fk = ƒ0     (= fréquence fondamentale) alors   ƒ0 = v/2L


T = m.g  (m est le poids de la masse qui exerce la tension en g et g le force de la gravité terrestre, g = 9.81 N/kg)


donc      v = √[(m.g)/µ]


On en conclut donc que      ƒ0 = (1/2L).(√[(m.g)/µ])

 

Cette démonstration et ces formules nous permettent de trouver la longueur de la corde tendue en cuivre que nous avons utilisé lors de notre expérience de la "corde vibrante" :


En effet, nous avons trouvé que la fréquence fondamentale pour que la corde vibre est :   ƒ0 = 16 Hertz


m = 50 g   et    g = 9.81 N     donc     T = m.g

                                                               = (50.10-3) X 9.81

                                                               = 0.4905


On sait que   v = √(T/µ)

µ = 2.20.10-3 kg.m-1    donc    v = √(0.4905/0.00220)

                                                      = √(222.9)

                                                      = 14.93

 

ƒ0 = v/2L   donc   2.L = v/ƒ0

                                  = 14.93/16

                                  = 0.933 m


donc   L = 0.933/2

            = 0.466m

            = 46.6 cm


On en conclut donc que la longueur de la corde en cuivre que nous avons utilisée pour notre expérience est de 46.6 cm entre les deux points fixes.

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